Бесконечно малые последовательности
Определение бесконечно малой последовательности
Последовательность $latex \left \{ \alpha_{n} \right \} $ называется бесконечно малой, если $latex \lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0 $, т.е. $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon $.
Геометрическая интерпретация
Свойства бесконечно малых последовательностей
- Бесконечно малая последовательность ограничена.
- Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
- Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
- Если элементы бесконечно малой последовательности $latex \left\{\alpha_{n}\right\} $ равны одному и тому же числу $latex C $, то $latex C=0 $.
Доказательство.
- Пусть $latex \left\{ \alpha_{n}\right\} $ — бесконечно малая последовательность, $latex \varepsilon $ — некоторое положительное число. Пусть $latex N $ — номер, такой, что $latex \forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon $. Обозначим $latex \max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \} $ числом A. Получим:$latex \forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A $, что и означает, что последовательность ограничена.
- Пусть $latex \left\{ \alpha_{n} \right\} $ и $latex \left\{ \beta_{n} \right\} $ — бесконечно малые последовательности. Пусть $latex \varepsilon $ — произвольное положительное число, $latex N_{1} $ — номер, начиная с которого $latex \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} $, а $latex N_{2} $ — номер, начиная с которого $latex \left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} $. Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей $latex \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right| $. Обозначим через $latex N $ наибольший из номеров <$latex N_{1} $ и $latex N_{2} $. Получим: $latex \forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\} $ — бесконечно малая.
- Пусть последовательность $latex \left\{ \alpha_{n} \right\} $ — бесконечно малая, а $latex \left\{ x_{n} \right\} $ — ограниченная. По определению, $latex \exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c $ и $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c} $. По свойству модулей, $latex \left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon $. Получили:$latex \forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon $, а это означает по определению, что последовательность $latex \left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\} $ — бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. - Пусть $latex C\neq 0 $. Тогда для $latex \varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2} $. По условию, $latex \alpha_{n}=C $, тогда $latex C<\frac{\left|C\right|}{2} $. Получили противоречие, следовательно, $latex C=0 $.
Примеры
- Последовательность $latex \frac{1}{n} $ — бесконечно малая, т.к. $latex \forall\varepsilon>0\;\;\exists N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1:\;\forall n\geq N\;\;\frac{1}{n}<\varepsilon $.
- $latex \frac{\sin n}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sin n $ — бесконечно малая, т.к. $latex \sin n $ — ограниченная, а $latex \lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 $.
- $latex \frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}=\frac{1}{n}\cdot\left(-1 \right )^{n} $ — бесконечно малая, т.к.$latex \left(-1 \right )^{n} $ — ограниченная, а $latex \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 $.
- $latex \sin\frac{1}{n} $ — бесконечно малая при $latex n\rightarrow\infty $, т.к. $latex \forall\varepsilon>0\;\sin\frac{1}{n}<\varepsilon $ при $latex n>\frac{1}{\arcsin{\varepsilon}} $.
- $latex \frac{n}{n^2+1} $ — бесконечно малая, т.к. $latex \frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} $, которая является бесконечно малой.
Бесконечно малые последовательности и их свойства
Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.
Литература:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
- В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, часть 1, М.:Наука, 1982. стр. 60-63.
- Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.М., 1969. стр. 14-17
- Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях
- Свойства бесконечно малых последовательностей
Да уж, а где пояснение, что такое «эпсилон», что такое «N» с индексом «эпсилон»? Это знаете, как рассказать детям например:»Второй закон Ньютона: F=ma, Третий: F1=-F2. Все, урок окончен, можете идти.» И без каких-либо объяснений, что значат эти переменные. Пускай сами догадываются. И у вас тоже самое.. Боже мой, сколько встречаю разных сайтов по математике, где пишут кучу формул и не поясняют какая переменная что значит…мол итак все очевидно.
Боюсь, что не могу с Вами согласиться не по одному пункту обвинения.
Всё, что нужно есть в первой же строке текста. Я конечно могу прочесть это «словами» — для любого положительного эпсилон существует… Но зачем и кому это может понадобиться? Вы пишите про законы Ньютона, но это физика, а не математика. В физических обозначениях есть семантика, выходящая за пределы теории. И, да, в физике нужно (можно) пояснять эту семантику (сила, ускорение и т.д.). В математике если такая семантика и появляется, то только между теориями или теорией и алгебраической системой. Например, между исчислением высказываний и алгеброй логики.
И последнее. Это не сайт по математике и об этом пишется в заголовке каждой страницы :)