Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение $latex (a+b)^{n}$ при $latex n>0$  в виде:

$latex (a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+ $

$latex C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$,

где $latex C_{a}^{b}$ — число сочетаний из $latex a$ элементов по $latex b$ элементов.

$latex C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}$.

Докажем верность данного утверждения:

$latex \square$ Доказательство методом математической индукции.

$latex 1)$ Для $latex n= 1 $ :

$latex a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}= $

$latex a*1+b*1=a+b.$

Для $latex n=1$ утверждение выполняется.

$latex 2)$ Предположим, что утверждение выполняется для $latex n=k$.

$latex (a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+ $

$latex C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=$

$latex a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+$

$latex C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$

$latex 3)$ Докажем верность формулы для $latex n=k+1$.

Докажем, что $latex (a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$.

$latex (a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}= $

$latex (a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}= $

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$

Вынесем слагаемое при $latex i=0$ из первой суммы:

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Вынесем слагаемое при $latex i=k$ из последней суммы:

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}= $

$latex b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}= $

$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Прибавим данные суммы:

$latex=a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+ $

$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =a^{k+1}+b^{k+1}+ $

$latex \sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex \sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex \sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ $latex \blacksquare$

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

552

Примеры:

$latex 1)$ $latex (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}= $

       $latex a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

$latex 2)$ $latex (a+b+c)^{4}=?$

$latex (a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}= $

$latex a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+ $

$latex a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}= $

$latex a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+ $

$latex a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+$

$latex +3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+ $

$latex b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=$

$latex =a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+ $

$latex 6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+ $

$latex 12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).$

Список литературы:

Тест "Бином Ньютона"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Бином Ньютона: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *