Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

[latex]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex] — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а [latex]f'(\xi )[/latex] — угловой коэффициент касательной к графику в точке [latex](\xi ,f(\xi ))[/latex]. Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке [latex](\xi ,f(\xi ))[/latex] параллельна секущей, соединяющей точки [latex]A(a,f(a))[/latex] и [latex]B(b,f(b)).[/latex]

Следствие

Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 [latex]\forall x\in (a,b)[/latex] то f(x)=c=const на (a,b)

Его доказательство:

Возьмем [latex]\forall x\in (a,b)[/latex] и зафиксируем [latex][x,x_{0}]\subset (a,b)[/latex] ([latex][x_{0},x]\subset (a,b)[/latex]) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [latex][x,x_{0}][/latex]
[latex]f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0})[/latex], [latex]\forall x\in (a,b)[/latex].
Следствие

Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. [latex]\forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b)[/latex] — линейная функция

Его доказательство:

Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [latex][a,x]\subset [a,b][/latex]: [latex]f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a)[/latex]. [latex]f(x)-f(a)=k(x-a)[/latex]. [latex]f(x)=kx+b. b=f(a)-ka[/latex]

Следствие

Пусть [latex]\varphi (x)[/latex]
1. Непрерывна на [a,b];
2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex])
3. [latex]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]
Тогда [latex]\exists \varphi ‘(x_{0}),[/latex] причем эта производная равна [latex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]

Его доказательство:

Пусть [latex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]=A, a<x<b, [latex]x\neq x_{0}.[/latex] По Теореме Лагранжа[latex]\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi ‘(\xi )(x-x_{0}),[/latex] где [latex]\xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow [/latex] [latex]\varphi ‘(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}.[/latex] (Будем считать, что функция однозначна) [latex]\xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi ‘(x_{0})[/latex]

Пример

Найти функцию [latex]\Theta =\Theta (x_{0},\Delta x)[/latex] такую, что [latex]f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x),[/latex] если [latex]f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0[/latex]

Спойлер

[latex]a(x_{0}+\Delta x)^{2}+b(x_{0}+\Delta x)+c-(ax^{2}+bx+c)=\Delta x(2a(x_{0}+\Theta \Delta x)+b)[/latex]
, откуда [latex]\Theta =\frac{1}{2}[/latex]

[свернуть]