Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

$latex
\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a
\Rightarrow
\{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b
\Rightarrow
f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A
$

Доказать что     $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1 $

$latex
\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=
\left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]=
\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)