Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$
или короче $$\int udv=uv -\int vdu.$$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$.
Пример 1.
[latex]\int {\ln xdx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array} \right] = [/latex] [latex]x\ln x — \int{x \frac{{dx}}{x}} = [/latex] [latex] x\ln x — x + C[/latex]
Пример 2.
[latex]\int{x\cos xdx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array} \right] = [/latex] [latex] x\sin x — \int {\sin xdx} = [/latex] [latex] \sin xdx + \cos x + C [/latex]
Пример 3.
В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например
[latex] I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array} \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}= [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array} \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a^2}{b^2}I [/latex]
Отсюда
[latex]I = [/latex] [latex] \int {e^{ax}\sin bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx — b\cos bx) + C [/latex]
По аналогии,
[latex]\int {e^{ax}\cos bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C [/latex]
Литература
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 2. (стр. 31-32)
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1. (стр. 464-465)
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу Часть 1.(стр. 55-56).
- Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу Часть 1. (стр. 159-160)
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (стр. 325)
Смотрите также
Метод интегрирования по частям
Тест на тему: «Метод интегрирования по частям».
Таблица лучших: Метод интегрирования по частям
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Разбейте длинные выкладки после знаков равенства. Это позволит системе сделать корректный перенос.
Ни в одной Вашей работе не выделены термины и ссылки для них. Ключевые слова определил плохо.
Тесты не вообще сделал? Ну, Сергей — не ожидал.
Зачесть работу не могу.
Добавьте эту http://mathprofi.ru/integrirovanie_po_chastyam.html страничку в ссылки. Или что-то подобное по объему изложения.
Спасибо за замечания все исправляю. Тесты есть, сейчас все оформляю. И еще Вы говорили, что мало — это касалось материала?