Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.[/latex]

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Спойлер

  1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция [latex]sgn x[/latex] постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид [latex]F(x)=x+C[/latex] (или [latex]F(x)=-x+C[/latex]), где [latex]C[/latex] — некоторое число.
  2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_1=-x+C_1[/latex], а на интервале (0,1) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_2(x)=x+C_2[/latex].

При любом выборе постоянных [latex]C_1[/latex] и [latex]C_2[/latex] мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать [latex]C_1=C_2=C[/latex], то получим функцию [latex]F(x)=|x|+C[/latex], недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция [latex]sgn x[/latex] не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

 

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1[/latex]. По  теореме*  предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

* Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a[/latex].

[свернуть]

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Пример функции, не имеющей первообразной: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *