Свойства функций непрерывных в точке

  • Если функция $latex f$ непрерывна в точке $latex a$, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки :
    $latex \exists c>0 $  $latex \exists U_\delta(a) : $
    $latex \forall x \in {U_\delta(a)} : |f(x)| < c $
    Следует из свойств пределов.
  • Если функция $latex f$ непрерывна в точке $latex a$ и $latex f(a)\neq $ 0, то в некоторой окрестности точки $latex a$ знак функции совпадает со знаком числа $latex f(a)$:
    $latex \exists U_\delta(a) : \forall x \in {U_\delta(a)} \rightarrow sign f(x)=sign f(a) $
    Следует из свойств пределов.
  • Если $latex f$ и $latex g$ непрерывны в точке $latex a$, то функции :
    $latex f \pm g , f*g , \frac{f}{g} $ непрерывны в точке $latex a$.
    Следует из непрерывности и свойств пределов.
  • Если $latex z=f(y)$ непрерывна в точке $latex y$, а $latex y=\varphi(x) $ , непрерывна в точке $latex x_0 $ причем $latex y_0=\varphi(x_0) $ , то в некоторой окрестности $latex x_0 $ определена сложная функция равная $latex f[\varphi(x)] $ которая также непрерывна в точке $latex x_0 $:
    $latex \left.\begin{matrix}\lim\limits_{y\to y_0}f(y)=f(y_0)
    \\ \lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=\varphi(x_0)\end{matrix}\right\} \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\varphi(x_0)] $
    Композиция непрерывных функций также является непрерывной.

Литература:

функции непрерывные в точке

Тест на тему «функции непрерывные в точке»:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *