Теорема Ферма о корне производной

Формулировка

Если функция имеет локальный экстремум в точке [latex]x_{0}[/latex] и дифференцируема в этой точке, то [latex]f'(x_{0})=0[/latex]

Доказательство

Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex] Тогда, по определению локального минимума для всех [latex]x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta )[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)-f(x_{0})\geq 0.[/latex]
Если [latex]x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) ,[/latex] то [latex]x-x_{0}< 0,[/latex] тогда из условия [latex]f(x)-f(x_{0})\geq 0[/latex] следует, что
[latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,[/latex]
а если [latex]x\in (x_{0},x_{0}+\delta ),[/latex] то выполняется неравенство
[latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.[/latex]
Так как функция f предел при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] в левой части неравенства [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0[/latex], равный [latex]f_{-}^{‘}(x_{0})=f'(x_{0}).[/latex] По свойствам пределов из [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0[/latex] следует, что
[latex]f'(x_{0})\leq 0.[/latex]
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0[/latex] получаем
[latex]f'(x_{0})\geq 0.[/latex]
Из неравенств [latex]f'(x_{0})\leq 0[/latex] и [latex]f'(x_{0})\geq 0[/latex] следует, что [latex]f'(x_{0})=0.[/latex]

Пример

Функция [latex]f(x)=x^{2}[/latex] имеет на отрезке [-1,1] точку минимума [latex]x_{0}=0.[/latex] Производная функция существует при всех x: [latex]f'(x)=2x.[/latex] В точке минимума производная действительно оказывается равной 0. [latex]f'(x_{0})=f'(0)=0,[/latex] так что утверждение теоремы Ферма выполнено.

ferma

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.164-165
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
  • www.pm298.ru
  • www.bymath.net

Теорема Ферма о корне производной: 1 комментарий

  1. Добавьте варианты для открытого вопроса с разной стоимостью в зависимости от точности ответа
    Вычитайте текст про 300 лет

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *