Формула конечных приращений Лагранжа

Формулировка

Если функция [latex]\in C[a,b][/latex] и дифференцируема на [latex](a,b),[/latex] то [latex]\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).[/latex]

Доказательство

Рассмотрим функцию [latex]\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),[/latex] где число [latex]\lambda [/latex] выберем таким, чтобы выполнялось условие [latex]\varphi (a)=\varphi (b),[/latex] т.е. [latex]f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b.[/latex] Отсюда находим
[latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.[/latex]
Так как функция [latex]\varphi (x)[/latex]непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi ‘(\xi )=f'(\xi )+\lambda =0.[/latex] Отсюда в силу условия [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex] получаем равенство
[latex]f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex]
равносильное равенству [latex]f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).[/latex]

Пример

Доказать что [latex]ln(1+x)<x[/latex] при [latex]0<x[/latex]

Спойлер

Применяя теорему Лагранжа к функции на отрезке [latex][0,x],[/latex] где [latex]x>0,[/latex] получим [latex]ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi}x,[/latex] откуда следует [latex]ln(1+x)>x,[/latex] так как [latex]0<\xi<x.[/latex]

[свернуть]

Формула конечных приращений Лагранжа

Этот тест был разработан для проверки усвоенных знаний по данному разделу

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.166-168
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *