Выпуклость функций. Геометрическая интерпретация.

 Определения:

Функция f определённая на (a;b) называется выпуклой вверх, если :
\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b), \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\geq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2}) .

Функция f определённая на (a,b) называется выпуклой вниз, если :
\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b), \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\leq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2}).

Функция f определённая на (a,b) называется строго выпуклой вверх, если:
\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b),\forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) > f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})

Функция f определённая на (a,b) называется строго выпуклой вниз, если:
\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b),\forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) < f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})

Замечание:

Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq (\leq) \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}
В  случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.

 Пример:

Рассмотрим непрерывную функцию f(x)=-(x-4)^{2}+4 :
5svg

Возьмём точки \left \{ 2,4,6 \right \} : f(\frac{2+6}{2})\geq \frac{f(2)+f(6)}{2}, т.е 4 \geq 0 \Rightarrow функция выпукла вверх.

Геометрическая интерпретация :

Условие f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2} означает, что \forall M_{1}, M_{2} графика функции f(x) середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой M_{0}=f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}).

Это можно продемонстрировать на примере функции f(x)=-(x-4)^{2}+4 :

6svg

Список литературы:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *