Выпуклость функций. Геометрическая интерпретация.

Определения:

Функция $f$ определённая на $(a;b)$ называется выпуклой вверх, если :
$\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$ , $\forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\geq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$ .

Функция $f$ определённая на $(a,b)$ называется выпуклой вниз, если :
$\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$ , $\forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\leq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$ .

Функция $f$ определённая на $(a,b)$ называется строго выпуклой вверх, если:
$\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$ , $\forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) > f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Функция $f$ определённая на $(a,b)$ называется строго выпуклой вниз, если:
$\forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$ , $\forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) < f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Замечание:

Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq (\leq) \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$
В случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.

Пример:

Рассмотрим непрерывную функцию $f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Возьмём точки $\left \{ 2,4,6 \right \}$ : $f(\frac{2+6}{2})\geq \frac{f(2)+f(6)}{2}$ , т.е $4 \geq 0$ $\Rightarrow$ функция выпукла вверх.

Геометрическая интерпретация :

Условие $f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2}$ означает, что $\forall M_{1}, M_{2}$ графика функции $f(x)$ середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой $M_{0}=f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$ .

Это можно продемонстрировать на примере функции $f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Список литературы:

Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 294)

Похожее

Добавить комментарий