Определения:
Функция $latex=f$ определённая на $latex (a;b)$ называется выпуклой вверх, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\geq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$ .
Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется выпуклой вниз, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\leq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$.
Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вверх, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) > f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$
Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вниз, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) < f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$
Замечание:
Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
$latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq (\leq) \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$
В случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.
Пример:
Рассмотрим непрерывную функцию $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :
Возьмём точки $latex \left \{ 2,4,6 \right \}$ : $latex f(\frac{2+6}{2})\geq \frac{f(2)+f(6)}{2}$, т.е $latex 4 \geq 0$ $latex \Rightarrow$ функция выпукла вверх.
Геометрическая интерпретация :
Условие $latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2}$ означает, что $latex \forall M_{1}, M_{2}$ графика функции $latex f(x)$ середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой $latex M_{0}=f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$.
Это можно продемонстрировать на примере функции $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :
Список литературы:
- Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
- Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 294)