Достаточные условия строгой выпуклости.

Теорема (достаточное условие строгой выпуклости)

Пусть дана функция \(f(x)\), дважды дифференцируема на интервале \((a;b)\). Тогда:

  1. Если \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.
  2. Если \({f}^{\prime\prime}(x) < 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вверх.

Доказательство

Докажем первый случай, т.е. докажем что \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)

Svg.1

\(x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\), \(x_{2}-x_{1} = 2h\). Тогда :
\(x_{2} = x_{0} + h\)
\(x_{1} = x_{0} — h\)

Применим к функции \(f(x)\) на отрезках \([x_{1};x_{0}]\) и \([x_{0};x_{2}]\) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа :
\(f(x)=f(x_{0})+\)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi )}{2!}(x-x_{0})^{2}\), \(\xi \epsilon (x;x_{0})\).

Пусть \(x = x_{1} \Rightarrow\) \(f(x_{1}) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{1}-\)\(x_{0}) + \)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(x_{1}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{1} \epsilon (x_{1};x_{0})\). Поскольку \(x_{1} = x_{0} — h \Rightarrow\) \(f(x_{0} — h) = f(x_{0}) + \)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(-h) + \)\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(-h)^{2}\)(*).

Пусть \(x=x_{2}\) \(\Rightarrow\) \(f(x_{2})=f(x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{2}-x_{0})+\)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(x_{2}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{2} \epsilon (x_{0};x_{2})\). Поскольку \(x_{2} = x_{0}+h \Rightarrow\) \( f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}h + \) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(h)^{2}\)(**).

Суммируем полученные выражения (*) и (**), получим: \(f(x_{1}) + \) \(f(x_{2})=2f(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2}({f}^{\prime\prime}(\xi_{1}) + \) \({f}^{\prime\prime}(\xi _{2}))\), а т.к. по условию \({f}^{\prime\prime}(x)> 0 \Rightarrow\) \( f(x_{1})+f(x_{2})=2f(x_{0})\) \(\Rightarrow\) \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} +x_{2}}{2})<\)\( \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\) \( \Rightarrow\) функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.

Аналогично теорема доказывается для второго случая.

Замечание:

Условие \({f}^{\prime\prime}(x)> 0\)(или \( {f}^{\prime\prime}(x) < 0\)) не является необходимым условием строгой выпуклости вниз (вверх).

Пример:

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^{4}\).

Найдем вторую производную данной функции: \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2}\), \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2} > 0\), \({f}^{\prime\prime}(0) = 0\) \(\Rightarrow\) условие \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) нарушается, поскольку \(f^{\prime\prime}(0) = 0\), однако эта функция строго выпукла вниз.

Список литературы:

Выпулость функций

Тест по теме «Выпуклость функций».

Таблица лучших: Выпулость функций

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия строгой выпуклости.: 1 комментарий

  1. Зачем Вам такое гигантское белое поле для таких маленьких рисунков? Может Вы просто забыли, что означают width и height? А все потому, что некоторым легче использовать какой-нибудь inkscape, чем написать три строчки руками. А ведь это минус в карму!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *