Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна слева в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} — 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют левой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Левая производна кратко записывается [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна справа в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют правой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Правая производна кратко записывается [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex], называется левой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex], называется правой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Если функция [latex]y=f(x)[/latex], непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty[/latex], тогда производная [latex]{f}'(x_{0})[/latex] называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси [latex]Oy[/latex]. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, [latex]+\infty[/latex] и [latex]-\infty[/latex] (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.
svg

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.


Таблица лучших: Односторонние и бесконечные производные.

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *