Параметрическое задание:
Дано 
Тогда площадь находится по формуле: 
Полярное задание:
Дано
, где
— расстояние от точки до начала координат,
— угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью
.
Пример:
... |
^Cпоказать> |
Найдём длину первого витка спирали Архимеда:

Запишем формулу длины для этого случая:

Упрощаем её, раскрываем скобки и вспоминаем о тригонометрической единице:

К счастью, этот интеграл — табличный — а, точнее, частный случай табличного (таблицу интегралов, содержащую его, можно найти тут) и равен:
|
Обычное задание:
Дана функция в виде
.
Пример:
... |
^Cпоказать> |
Найти длину графика функции  на отрезке
Мы получаем интеграл:


Делаем небольшую замену переменной:



И решаем образовавшийся интеграл:

|
Почему эти формулы верны?
... |
^Cпоказать> |
Здесь мы доказываем, что верна формула  .
Затем мы избавляемся от производной длины кривой:

Затем находим длину кривой между двумя точками:
, где и — координаты точек, ограничивающих часть кривой.
И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.
|
Источники:
Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г., том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.
Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.
Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.
Похожее
Автор: Павел Бакалин
Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)
Посмотреть все записи автора Павел Бакалин
Стало лучше.
По-прежнему слишком лаконично.
В примере сформулируйте задачу, которая решается.
Добавил целый пример и немного ссылок-терминов.