Вычисление пути и его длины.

Параметрическое задание:

Дано $\left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.$

Тогда площадь находится по формуле: $S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi' (t))^{2}+(\psi' (t))^{2}}dt$

Полярное задание:

Дано $r=f(\alpha )$ , где $r$ — расстояние от точки до начала координат, $\alpha$ — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью $OX$ .

$S=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{((r\cos \alpha )')^{2}+((r\sin \alpha )')^{2}}dt$

Пример:

...	^C показать
Найдём длину первого витка спирали Архимеда: $r=\alpha \varphi; 0\leq \varphi \leq 2\pi$ Запишем формулу длины для этого случая: $L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(\alpha \varphi \cos \varphi)'^2+(\alpha \varphi \sin \varphi)'^2}d\varphi$ Упрощаем её, раскрываем скобки и вспоминаем о тригонометрической единице: $L=\alpha \int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\varphi ^2}d\varphi$ К счастью, этот интеграл — табличный — а, точнее, частный случай табличного (таблицу интегралов, содержащую его, можно найти тут) и равен: $L=\alpha (\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{\ln (2\pi + \sqrt{1+4\pi ^2})}{2})$

...

показать

Обычное задание:

Дана функция в виде $y=f(x)$ .

$S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+(y')^{2}}dx$

Пример:

...	^C показать
Найти длину графика функции $y=x^\frac{3}{2}$ на отрезке $[0;4]$ Мы получаем интеграл: $L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+(y')^2}dx$ $L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx$ Делаем небольшую замену переменной: $q=\frac{9}{4}x+1; dq=\frac{9}{4}dx$ $L=\frac{4}{9}\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}d(1+\frac{9}{4}x)$ $L=\frac{4}{9}\int_{1}^{10} \sqrt{q}dq$ И решаем образовавшийся интеграл: $L=\frac{4}{9}\frac{2}{3}q^{\frac{3}{2}}\|^{10}_{1}$ $L=\frac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$

...

показать

Почему эти формулы верны?

...	^C показать
Здесь мы доказываем, что верна формула $L'(t)=\sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}$ . Затем мы избавляемся от производной длины кривой: $L=\int \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}dt$ Затем находим длину кривой между двумя точками: $L=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}dt$ , где $t_1$ и $t_2$ — координаты $t$ точек, ограничивающих часть кривой. И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.

...

показать

Источники:

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г., том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.

Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.

Похожее

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год) Посмотреть все записи автора Павел Бакалин

Вычисление пути и его длины.: 2 комментария

Стало лучше.
По-прежнему слишком лаконично.
В примере сформулируйте задачу, которая решается.

Ответить

Добавил целый пример и немного ссылок-терминов.

Ответить

Параметрическое задание:

Полярное задание:

Пример:

Обычное задание:

Пример:

Почему эти формулы верны?

Источники:

Поделиться ссылкой:

Похожее

Автор: Павел Бакалин

Вычисление пути и его длины.: 2 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ