Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Путем на плоскости называется отображение t \mapsto (\varphi (t),\psi (t)) отрезка \left [ \alpha,\beta \right ] в \mathbb{R}^{2}, задаваемое парой непрерывных функций \varphi и \psi. Это означает, что каждому значению t\in \left [ \alpha,\beta \right ] ставится в соответствие точка плоскости с координатами \left ( x,y \right ), где x=\varphi (t),y=\psi(t).
След пути — множество точек \left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции \varphi и \psi непрерывно дифференцируемы на отрезке \left [ \alpha ,\beta \right ], то путь \gamma =(\varphi ,\psi ) называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь \gamma\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.

Пусть \gamma = (\varphi ,\psi ) непрерывно дифференцируемый путь на отрезке \left [ \alpha ,\beta \right].
Тогда L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt, где L_{(\gamma )} — длина пути.

Доказательство

Часть 1

\square \Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< ... <x_{n}=\beta — произвольное разбиение отрезка \left [ \alpha ,\beta \right]. Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}} — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

  • x_{i+1}-x_i=\varphi '(t_i)(t_{i+1}-t_i);
  • y_{i+1}-y_i=\psi '(t_i)(t_{i+1}-t_i);

Тогда длина ломаной будет равна: S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi '(t))^{2}+(\psi '(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).
Обозначим наибольшие значения производных \psi '(t) и \varphi '(t) :
L=sup(|\psi '(t)|) и \overline{L}=sup(|\varphi '(t)|).
Очевидно: S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}), T и t_0  — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0}), где l=inf(|\psi '(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi '(t)|)

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

  • S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^{2}}(T-t_0);
  • S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^{2}}(T-t_0);

Получаем: \sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)
А теперь возьмём точку a_1 на нашей дуге с координатами (t_1,y_1). Придадим её абсциссе приращение \Delta t и получим точку a_2(t_1+\Delta t, y_2). Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При \Delta t \rightarrow 0 левая часть стремится к \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t. Аналогично, для правой.
Получаем \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t. Преобразуем это двойное неравенство:
\sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}.
L^{'}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi '(t))^2+((\psi '(t))^2}.
Тогда L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt, где L_{(\gamma )} — длина пути. \blacksquare

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 1, стр. 192 (определения, теорема).
  2. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 1, стр. 560,562-563 (определения, теорема).

Тест

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия: 3 комментария

  1. Стало лучше, только нужно уточнить некорректные формулировки типа «Поделим линию на n точек».
    Обязательно нужно выполнить требования указанные в задании.
    В тестах использованы не все возможные типы вопросов.

  2. Материал всех трех Ваших записей изложен на одной (192-й) странице учебника Фихтенгольца? Вы не ошибаетесь?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *