Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Путем на плоскости называется отображение [latex]t \mapsto (\varphi (t),\psi (t))[/latex] отрезка [latex]\left [ \alpha,\beta \right ][/latex] в [latex]\mathbb{R}^{2},[/latex] задаваемое парой непрерывных функций [latex]\varphi [/latex] и [latex]\psi.[/latex] Это означает, что каждому значению [latex]t\in \left [ \alpha,\beta \right ][/latex] ставится в соответствие точка плоскости с координатами [latex]\left ( x,y \right )[/latex], где [latex]x=\varphi (t),y=\psi(t).[/latex]
След пути — множество точек [latex]\left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.[/latex]
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции [latex]\varphi[/latex] и [latex]\psi[/latex] непрерывно дифференцируемы на отрезке [latex]\left [ \alpha ,\beta \right ][/latex], то путь [latex]\gamma =(\varphi ,\psi )[/latex] называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь [latex]\gamma[/latex] :  [latex]\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.[/latex]

Пусть [latex]\gamma = (\varphi ,\psi )[/latex] непрерывно дифференцируемый путь на отрезке [latex]\left [ \alpha ,\beta \right].[/latex]
Тогда [latex]L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,[/latex] где [latex]L_{(\gamma )}[/latex] — длина пути.

Доказательство

Часть 1

[latex]\square [/latex] [latex]\Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< … <x_{n}=\beta [/latex] — произвольное разбиение отрезка [latex]\left [ \alpha ,\beta \right].[/latex] Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
[latex]S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}[/latex] — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

  • [latex]x_{i+1}-x_i=\varphi ‘(t_i)(t_{i+1}-t_i);[/latex]
  • [latex]y_{i+1}-y_i=\psi ‘(t_i)(t_{i+1}-t_i);[/latex]

Тогда длина ломаной будет равна: [latex]S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi ‘(t))^{2}+(\psi ‘(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).[/latex]
Обозначим наибольшие значения производных [latex]\psi ‘(t)[/latex] и [latex]\varphi ‘(t)[/latex] :
[latex]L=sup(|\psi ‘(t)|)[/latex] и [latex]\overline{L}=sup(|\varphi ‘(t)|)[/latex].
Очевидно: [latex]S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}),[/latex] [latex]T[/latex] и [latex]t_0[/latex]  — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
[latex]S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0})[/latex], где [latex]l=inf(|\psi ‘(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi ‘(t)|)[/latex]

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

  • [latex]S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^{2}}(T-t_0);[/latex]
  • [latex]S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^{2}}(T-t_0);[/latex]

Получаем: [latex]\sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)[/latex]
А теперь возьмём точку [latex]a_1[/latex] на нашей дуге с координатами [latex](t_1,y_1)[/latex]. Придадим её абсциссе приращение [latex]\Delta t[/latex] и получим точку [latex]a_2(t_1+\Delta t, y_2)[/latex]. Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При [latex]\Delta t \rightarrow 0[/latex] левая часть стремится к [latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t.[/latex] Аналогично, для правой.
Получаем [latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t[/latex]. Преобразуем это двойное неравенство:
[latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}.[/latex]
[latex]L^{‘}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+((\psi ‘(t))^2}.[/latex]
Тогда [latex]L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,[/latex] где [latex]L_{(\gamma )}[/latex] — длина пути. [latex]\blacksquare [/latex]

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 1, стр. 192 (определения, теорема).
  2. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 1, стр. 560,562-563 (определения, теорема).

Тест

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия: 3 комментария

  1. Стало лучше, только нужно уточнить некорректные формулировки типа «Поделим линию на n точек».
    Обязательно нужно выполнить требования указанные в задании.
    В тестах использованы не все возможные типы вопросов.

  2. Материал всех трех Ваших записей изложен на одной (192-й) странице учебника Фихтенгольца? Вы не ошибаетесь?

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *