Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если $latex f \ \in \ C[a,b] $ и $latex f(a)f(b)<0 $ , то
$latex \exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0 $

Спойлер

Разделим отрезок [a,b] пополам и пусть точка $latex \alpha $ — середина этого отрезка.
Если $latex f(\alpha)=0 $ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha) \neq 0 $ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_1=[a_1,b_1] $, его длина $latex b_1-a_1 =\frac{b-a}{2} $
Пусть точка $latex \alpha_1 $ середина $latex \Delta_1 $
Если $latex f(\alpha_1)=0 $ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha_1) \neq 0 $ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_2=[a_2,b_2] $ , его длина $latex b_2-a_2 =\frac{b_1-a_1}{2} $
Продолжая этот процесс получим:

Для n-ого отрезке $latex \Delta_n=\frac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0 $ при $latex n \rightarrow \infty $

И $latex \forall n : f(a_n)f(b_n)<0 $

Так как последовательность стягивающаяся , то по теореме Кантора:

[latex]\exists c\ \forall n\ \in \ \mathbb{N} :[/latex] $latex c \ \in \ \Delta_n $

Докажем, что f(c)=0

Докажем от противного
$latex f(c)\neq 0 \Rightarrow f(c)>0 $ либо $latex f(c)<0 $ по свойству сохранения знака непрерывной функции
$latex \exists \delta \ \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow f(x)>0 $
$latex b_n-a_n \rightarrow 0 $
$latex \forall \ \varepsilon>0 \ \exists N : \ \forall n \geq N \ |b_n-a_n|< \varepsilon $
Для $latex \delta>0 \ \exists n_0>N : b_{n_{0}}-a_{n_{0}}<\delta <2 \delta $
Отрезок с номером $latex n_0 $ будет лежать в этой окрестности $latex \Rightarrow $
$latex \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow \ \forall x \ \epsilon \ \Delta_{n_{0}} : f(x)>0 $ ,
а это противоречит выбору $latex \Delta_{n_{0}} $ так как значение на левом и на правом конце отрезка, должны быть разных знаков
$latex \Rightarrow \ f(c)=0 $

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Литература:

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *