Свойства границ, связанные с арифметическими операциями и с неравенствами

Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $a$ , причем $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A$ и $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B$ то:

$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B$

Доказательство
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют предел в точке $a$ , то при $x\rightarrow a$ величины $h_{f}(x)=A-f(x)$ и $h_{g}(x)=B-g(x)$ будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых $h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x))$ также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B$

$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB$

Доказательство
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют предел в точке $a$ , то при $x\rightarrow a$ величины $h_{f}(x)=A-f(x)$ и $h_{g}(x)=B-g(x)$ будут бесконечно малыми. Поэтому $g(x)=A-h_{f}(x)$ и $g(x)=B-h_{g}(x)$ . Отсюда
$\\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}$
Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB$

$\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}$ , причем $B\neq 0$

Доказательство
Условие $\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}$ эквивалентно тому, что разность $\frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}$
бесконечно малая величина при $x\rightarrow a$ . Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим $\frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}$ . Рассмотрим предел числителя дроби.
$\\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0$
Что в свою очередь означает, что $\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}$

Свойства пределов, связанные с неравенствами

Теорема о двух милиционерах

Если $\exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)$ выполняются неравенства $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$ и если $\lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A$ то $\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A$ .
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть $\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}$ — последовательность из $\dot{U}_{\delta }(a)$ , причем $\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a$ . Тогда выполняются условия $g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n})$ и $\lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A$ . Тогда в силу свойств пределов последовательностей $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A$ . Следовательно $\lim _{x\rightarrow a }f(x)=A$ .
Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:
t3pol

Если $\exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)$ выполняется неравенство $f(x)\leqslant g(x)$ и если $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A$ , $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B$ , то $A\leqslant B$ .

Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть $\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}$ — последовательность из $\dot{U}_{\delta }(a)$ , тогда числа $A$ и $B$ будут пределами последовательности $\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}_{1}^{\infty }$ т.е. $\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A$ и $\lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B$ Тогда в силу свойств пределов последовательностей $A\leqslant B$ .