Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями
Если функции и
имеют конечные пределы в точке
, причем
и
то:
, причем
Доказательство
Так как функции и
имеют предел в точке
, то при
величины
и
будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых
также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что
Доказательство
Так как функции и
имеют предел в точке
, то при
величины
и
будут бесконечно малыми. Поэтому
и
. Отсюда
Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что
Доказательство
Условие эквивалентно тому, что разность
бесконечно малая величина при . Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим
. Рассмотрим предел числителя дроби.
Что в свою очередь означает, что
Свойства пределов, связанные с неравенствами
- Теорема о двух милиционерах
- Если
выполняется неравенство
и если
,
, то
.
Если выполняются неравенства
и если
то
.
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть — последовательность из
, причем
. Тогда выполняются условия
и
. Тогда в силу свойств пределов последовательностей
. Следовательно
.
Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть — последовательность из
, тогда числа
и
будут пределами последовательности
т.е.
и
Тогда в силу свойств пределов последовательностей
.
Литература
- Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84
Жаль, что тестов нет.
Пределы пишутся в две строки.