Необходимое и достаточное условие точек перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба)

Если точка x_{0}точка перегиба функции f(x) и если \exists {f}''(x) в некоторой окрестности точки x_{0} (непрерывная в точке x_{0}), то {f}''(x_{0})=0.

 

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что {f}''(x_{0})\neq 0. Тогда {f}''(x_{0})> 0 либо {f}''(x_{0})< 0.
По условию {f}'' непрерывна в точке x_{0} \Rightarrow по свойству сохранения знака непрерывной функции получим: \exists \delta: \forall x\epsilon U_{\delta } (x_{0}), sign {f}''(x)=sign{f}''(x_{0}), т.е по достаточному условию строгой выпуклости {f}''(x)> 0 \forall x\epsilon (a;b) (функция выпукла вниз) или {f}''(x)< 0 \forall x\epsilon (a;b) (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку x_{0} направление выпуклости меняется.

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция f(x) непрерывна в точке x_{0} и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если {f}''(x_{0}) меняет знак при переходе через точку x_{0}, то точка x_{0} —  точка перегиба функции f(x).

Доказательство

Пусть {f}'' меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция f(x) на интервале (x_{0}-\delta ;x_{0}) функция будет строго выпукла вверх, на интервале (x_{0};x_{0}+\delta ) — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку x_{0} направление выпуклости изменяется \Rightarrow по определению x_{0}— точка перегиба.

Пример:

Найти точки перегиба функции f(x)=3x^{2}-x^{3}.

Решение:

Найдем вторую производную функции: {f}'=6x-3x^{2} \Rightarrow {f}'' =6-6x, значит x=1. Найдем промежутки знакопостоянства функции:

svg6

При переходе через точку x=1 функция изменяет направление выпуклости, значит x=1 — точка перегиба графика функции.

Список литературы

Точки перегиба

Тест на знание темы «Точки перегиба»

Таблица лучших: Точки перегиба

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *