Открытые множества и их свойства

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек xпространства mathbb{R}^n, таких, что | x- x_0| < rho, rho > 0, называется открытым шаром с центром в точке x_0 и радиусом rho. Этот шар также называется rho-окрестностью точки x_0 и обозначается B(x_0,rho).

Определение. Зададим подмножество E пространства mathbb{R}^n. Точка x_0 множества E называется внутренней точкой множества, если существует B(x_0,rho), содержащийся в E. Иными словами, x_0 является внутренней точкой множества E, если она входит в E вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество E subset mathbb{R}^n называется открытым, если любая его точка будет внутренней в E. Условимся также считать пустое множество varnothing открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через A множество индексов, и каждому элементу alpha in A поставим в соответствие множество E_{alpha}. Тогда left{E_{alpha}right}_{alpha in A} называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве mathbb{R}^n обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество varnothing и всё пространство mathbb{R}^n открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства left{G_{alpha}right}_{alpha in A} открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество varnothing является открытым по определению, а пространство mathbb{R}^n, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в mathbb{R}^n.
  2. Пусть E_1,...,E_n – открытые множества,E = bigcap_{i=1}^{n}. Предположи, что x in E. Тогда x in E_i для любого i=1,...,n. Но все множества E_i являются открытыми, так что для любого i=1,...,n найдется открытый шар B(x,rho_i) subset E_i. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом B(x,rho), где r=min(rho_1,...,rho_n). Тогда E(x,rho) subset E_i при каждом i=1,...,n, а значит, B(x,rho) subset E, и тем самым доказано, что множество E открыто.
  3. Пусть E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}, где все множества E_{alpha} открыты. Докажем, что множество E также открыто. Предположим, что x in E. Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств E_{alpha_0}. Так как это множество E_{alpha_0} открыто, то найдется окрестность B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E. Таким образом, E – открытое множество.

square

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть B_k – открытый шар с центром в нуле и радиусом frac{1}{k}(k=1,2,...). Тогда bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}. Но множество left{0right}, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *