Параметрическое задание
Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые [latex]x=a, x=b[/latex], ось абсцисс и параметрически заданная кривая
[latex] \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right. [/latex]
Причем: функции [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] непрерывны на интервале [latex][a,b][/latex], [latex]a<b[/latex]; [latex]x=\varphi (t)[/latex] монотонно возрастает на этом интервале и [latex]\varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b[/latex].
Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле [latex] S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt [/latex]
Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции $latex S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt $ подстановкой: $latex S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt $
Если функция является монотонно убывающей на интервале [latex][\beta ,\alpha], \beta < \alpha[/latex], то формула примет следующий вид: [latex] S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi ‘(t)dt [/latex]
Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.
Примеры:
Дан эллипс [latex]\left\{\begin{matrix} x=2\cos t\\y=3\sin t \end{matrix}\right.[/latex]. Посчитать его площадь.
Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.
Очевидно, их площади равны — а площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.
Считаем её. Она равна
[latex]-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin t*(2\cos )’ dt=[/latex][latex]6\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}t dt=[/latex][latex]3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=[/latex][latex]\frac{3\pi }{2}[/latex]
Умножаем площадь одной четверти на 4, и:
Ответ — [latex]6\pi [/latex]
Дана линия,заданная функциями [latex]x=2t-t^2[/latex] и [latex]y=2t^2-t^3. [/latex]
Найти площадь ограниченной ею и осью ОХ фигуры.
Находим производную [latex]y'[/latex], она равна [latex](2t^2-t^3)’=4t-3t^3[/latex].
Находим [latex]t[/latex], при которых наша линия пересекается с осью [latex]OX[/latex]. Это [latex]t=0[/latex] и [latex]t=2[/latex]. Составляем формулу площади:
[latex]S=\int\limits_{0}^{2}(2t-t^2)(4t-3t^2)dt[/latex];
[latex]S=\int\limits_{0}^{2}(3t^4-10t^3+8t^2)dt[/latex];
[latex]S=\frac{3t^5}{5}-\frac{5t^4}{2}+\frac{8t^3}{3}|^2_0[/latex];
[latex]S=\frac{8}{15}[/latex];
Ответ — [latex]\frac{8}{15}[/latex].
Полярное задание
А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi $$ Здесь [latex]\alpha [/latex] и [latex]\beta [/latex] — значения углов, ограничивающих фигуру, [latex]r[/latex] — расстояние от начала координат до точки, [latex]\varphi [/latex] — угол. Уравнение функции в полярных координатах — [latex]r=f(\varphi )[/latex]
Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.
Пример:
Найдём площадь круга. Задан уравнением [latex]r=a[/latex].
Площадь круга в первом квадранте — $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{0 }^{\frac{\pi }{2} }a^{2}d\varphi $$
Преобразуем этот интеграл:
[latex]S=\frac{1}{2}*\frac{\pi }{2}*a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}[/latex].
Площадь всего круга — учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.
[latex]S= \pi a^{2}[/latex]
Источники:
- Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169.
- Марон, «Дифференциальное и интегральное исисление в примерах и задачах», 1970 г.,стр. 291
Тест
Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах
В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.
Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
