Критерий Коши существование предела

7983_201

Огюстен Луи Коши(1789-1857)

Прежде чем  ознакомиться с критерием, вспомним, что значит выражение: «Функция удовлетворяет в точке условию Коши».

Определение:

Будем говорить, что функция f удовлетворяет в точке a, условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности  этой точки и \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon (где U^{\circ}_{\delta }(a) -проколотая    \delta-окрестсность точки a). 0< |x'-a|< \delta 0< |x''-a|< \delta

Теорема(Критерий Коши):

  Для того чтобы функция f(x) имела конечное передельное значение в точке x=a, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию Коши в точке a.

Доказательство

Необходимость

Докажем, что f(x) удовлетворяет в точке x=a условию Коши. Пусть \exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2} \forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a): |f({x}')-f({x}'')|=|(f({x}')-A)+(A-f({x}''))|\leq |f({x}')-A|+|f({x}'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon

Достаточность:

Предположим, что выполняется условие Коши в точке a . Воспользуемся определением предела функции по Гейне: \lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A. Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty } -произведение последовательности \in U_{\delta }^{\circ}(a) и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a . Докажем, чтo \left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1}^{\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n} \right \}. Согласно условию Коши мы имеем следующее: \forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon ) для \delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon } \forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon } x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon -следует из условия Коши. \forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrow по Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}сходящаяся. Покажем, что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. \left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A {x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}' x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A Теорема доказана.

Рекомендации:

Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1,§ 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций» стр.81-84;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»  Том 1, Глава 2, § 2 «Предел функции» стр.115-136;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, § 2 «Понятие предельного значения функции» стр.103-110.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, § 5 «Предел функции» стр.47-72;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 2, § 3 «Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши» стр.38-41.

"Критерий Коши существование предела"

В этом тесте предоставлены вопросы по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить этот тест.

Таблица лучших: "Критерий Коши существование предела"

максимум из 24 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Критерий Коши существование предела: 1 комментарий

  1. Всё Юля, я сдаюсь.
    Больше ничего не меняйте.
    Слишком большими усилиями мне даются все эти маленькие шаги вперед.
    Тем более, что иногда это два шага назад.
    Мы уже написали «воспользуемся определением» и ладно. И не будем писать определением чего мы воспользуемся. Конечно можно написать «воспользуемся определением предела». Но тогда я захочу узнать, предела чего? Функции или последовательности?
    Я устал щипцами вытягивать из вас информацию. Враги бы у Вас точно ничего не вытянули.
    Попробую максимально комплиментарно оценить наши совместные усилия и на этом всё. Буду рад, если Вы смогли вынести что-то полезное из наших споров. Я был бы счастлив даже если бы просто смог Вас убедить ставить пробелы там, где следует. Но, увы…

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *