Примеры открытых множеств

new

Точки (x, y) удовлетворяющие x^2 + y^2 = r^2 окрашены синим. Точки (x, y) удовлетворяющие x^2 + y^2 < r^2 окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар B(x_0,r) является открытым множеством.
Пусть x \in B(x_0,r). Докажем, что найдется окрестность x, которая целиком содержится в B(x_0,r). Предположим, что \rho = r - \left|x - x_0 \right|. Тогда \rho > 0, так как \left|x - x_0 \right| < r. Покажем, что B(x,\rho) \subset B(x_0,r). Пусть y \in B(x,\rho). Тогда \left|y - x \right| < \rho. Оценим расстояние между y и x_0. По неравенству треугольника имеем

\left| y - x_0 \right| \leq \left| y - x \right| + \left| x - x_0 \right| < \rho + \left| x - x_0 \right| = r,

что и требовалось доказать.

В частности, при n = 1 открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов a,b \in \mathbb{R}^n, таких, что a^i < b^i (i = 1...,n)открытым интервалом называется множество всех точек x, координаты которых удовлетворяют условиям a^i < x^i < b^i (i = 1,...,n). Такой интервал обозначается через (a^1,b^1;...;a^n,b^n).В частности, в \mathbb{R}^2 открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в \mathbb{R}^3 – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в \mathbb{R}^n является открытым множеством.

Пусть J – открытый интервал и пусть x \in J, т. е. a^i < x^i < b^i (i = 1,...,n). Обозначим через \delta^i = min(x^i - a^i,b^i - x^i) (i = 1,...,n) и  \delta = min(\delta^1,...,\delta^n). Покажем, что B(x,\delta) содержится в J. Действительно, если y \in B(x,\delta), то |y-x| < \delta. Отсюда следует, что |x^i -y^i| < \delta для всех i = 1,...,n. Пользуясь определением числа \delta, легко показать, что a^i < y^i < bi для всех i = 1,...,n, так что y \in J.

Литература:

Примеры открытых множеств: 3 комментария

    1. «Объединение красных и синих точек есть закрытое множество.» Почему закрытое, может быть замкнутое множество?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *