Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция f(x) определена на [a;b]"  и a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b , то интегралом функции f(x)  на сегменте [a,b]  называется число \huge \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{max|x_{i}|\rightarrow 0}{\lim}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i},

где x_{i}\leq \varepsilon _{i}\leq x_{i+1}  и \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i} .

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть f\in C(a_{0},b_{0}),\varphi \in C(\alpha _{0},\beta _{0}) , при чем если t\in (\alpha _{0};\beta _{0})\Rightarrow \varphi (t)\in (a_{0};b_{0}) , тогда если \alpha  и \beta  \in (\alpha _{0};\beta _{0}) , и a=\varphi (x),b=\varphi (x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)dt

Доказательство. Так как функция f\in C(a_{0};b_{0})\Rightarrow f\in C[a;b]\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) , где F'(x)=f(x) , для любого x\in [a;b]

С другой стороны так как \frac{\partial }{\partial t}{F[\varphi (t)]}=F'(\varphi (t))\varphi '(t)=f[\varphi (t)]\varphi '(t)
F[\varphi (t)] -первообразная для f[\varphi (t)]\varphi '(t) и тогда по Н-Л \Rightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt=F[\varphi (t)]|_{\alpha }^{\beta }=F[\varphi (\beta )]-F[\varphi (\alpha )]=F(b)-F(a)
Пример. Если функция f(x)  парная и непрерывная на [-a;a] , то \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx а если функция f(x)  непарная та непрерывная на [-a;a] , то

\int_{-a}^{a}f(x)dx=0.

Для  доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx

и во втором интеграле положить x=-t .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *