Теорема Ньютона-Лейбніца. Приклади застосування.

Формула Ньютона-Лейбница — это фундаментальная для всего анализа соотношение, так как эта формула выражает связь между определенными и неопределенными интегралами

Теорема Ньютона-Лейбница

 Если f\in C[a;b] и F — какая-нибудь первообразная для f , то справедлива формула \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}

Доказательство

 Интегрирование по Риману существует в силу непрерывности f . В силу следствия F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c , для любого x\in [a;b] . Подставим x=a :

F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt+c\Rightarrow c=F(a)\Rightarrow F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+F(a)

Подставим в это равенство x=b\Rightarrow F(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt+F(a)

Примеры:

1) \int_{2}^{5}(1/x)dx=lnx|_{2}^{5}=ln5-ln2 .

2) Для любой в [0;a](a>0)  функция f(x)

 \int_{0}^{a}f(x)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.

Действительно t=a-x , имеем

\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(a-t)dt=\int_{0}^{a}f(a-t)dt

Источники:

1) 2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.188-189

2) Конспект по математическому анализу

Теорема Ньютона-Лейбніца. Приклади застосування.: 1 комментарий

  1. Вы что, просто скопировали текст из конспекта другого преподавателя и всё? Это категорически не приемлемо. По закону Украины об авторском праве Вы совершаете правонарушение.

    Остальные замечания можете уже не читать.


    Уберите #top из ссылки на эту страницу. Выходит скроллинг куда-то в середину. И без нее все будет хорошо.
    После знаков препинания обязательны пробелы. Ведь нет такого слова «Теорема.Якщо»?
    Что это за слово «онієї»? Вычитайте текст.
    В списке литературы обязательно указать минимум один рекомендованный учебник и страницы в нем. То что Вы указали, это ссылка на загрузку электронной версии книги, а не ссылка на книгу. Нужно переделать.
    При желании (если автор согласен), мы можем разместить электронную версию его книги у нас на сайте. но ссылки должны выглядеть по крайней мере так (только с конкретными страницами):
    1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука., 1966 г., Т.*, стр.***-***
    2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2 т. – М.: ГИТТЛ., 1956 г., Т *, стр.***-***
    3. Шиманский Ш.Є.Математичний аналiз. – К.: Рад. шк., 1966 р., стр.***-***
    4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. – М.: Высш. шк., 1988 г., T. *, стр.***-***
    5. Никольский С.М. Курс математического анализа: В 2 т. – М.: Наука., 1991 г., Т. *, стр.***-***
    6. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И., Сборник задач по математическому анализу: В 3 т. – М.: Наука., 1984 г., Т. *, стр.***-***
    7. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука., 1977 г., стр.***-***

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *