Интегрирование частями в интеграле Римана. Примеры.

Формула интегрирования по частям
Пусть функция u(x) и v(x)  непрерывны вместе со своими производными на отрезке:

\int\limits_{a}^{b}u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)du(x).

Примеры

  1. \int (2x+3)e^{2x}dx=(1/2)\int (2x+3)d(e^{2x})=(1/2)((2x+3)e^{2x})-\int 2e^{2x}dx=\frac{1}{2}((2x+3)e^{2x}+e^{2x})+c
  2. \int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c
  3. \int x\sin xdx=-\int xd(\cos x)=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-(x\cos x-\sin x)+c
  4. Пусть функция f(x)  непрерывна на \mathbb{R} и имеет период T  так, что f(x+T)=f(x)  для x\subseteq R . Тогда на любом отрезке с длиной периода T интеграл от этой функции имеет тоже самое значение:
    \int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx

Доказательство
Разобьём интеграл на три и в последнем из них сделаем замену x=t+T' . Имеем:

\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=-\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{0}^{a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx

Источники:

  • Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —Москва: Наука, 1972. (стр.203-204)
  • Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *