Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] и [latex]f[/latex] строго возрастает на [latex]I = [a;b][/latex], то на [latex]E = [f(a),f(b)][/latex] определена функция [latex]x=g(y)[/latex], которая будет обратной к [latex]f[/latex], непрерывной на [latex][f(a), f(b)][/latex] и строго возрастающей на [latex][a;b][/latex].

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] и [latex]f[/latex] строго убывает на [latex][a;b][/latex], то на [latex][f(b), f(a)][/latex] определена функция [latex]x=g(y)[/latex], которая будет обратной к [latex]f[/latex], непрерывной на [latex][f(b), f(a)][/latex] и строго убывающей на [latex][a;b][/latex].

Доказательство:

Предположим, что функция [latex]f[/latex] строго возрастает на отрезке [latex]I[/latex].
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений [latex]E[/latex] непрерывной функции [latex]f[/latex] тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции [latex]f[/latex] для каждого [latex]y\in E[/latex] существует единственная точка [latex]x\in I[/latex] такая, что [latex]f(x)=y[/latex].
Следовательно, для функции [latex]f[/latex] существует обратная функция [latex]f^{-1}[/latex], определенная на отрезке [latex]E[/latex], имеющая множество значений [latex]I[/latex].

Покажем, что [latex]f^{-1}[/latex] строго возрастает на [latex]E[/latex].

Пусть [latex]y_{1}[/latex] и [latex]y_{2}[/latex] — две произвольные точки из [latex]E[/latex] такие, что [latex]y_{1}<y_{2}[/latex], и прообразами этих точек будут точки [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex]. [latex]f^{-1}(y_{1})=x_{1}[/latex] и [latex]f^{-1}(y_{2})=x_{2}[/latex].

Поскольку [latex]f[/latex] — строго возрастающая функция, то неравенство [latex]y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2}[/latex] возможно тогда и только тогда, когда [latex]x_{1}<x_{2}[/latex] или, что то же самое, когда [latex]f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})[/latex].

В силу произвольности [latex]y_{1} < y_{2}[/latex] делаем вывод, что функция [latex]f^{-1}[/latex] строго возрастает на множестве [latex]E[/latex].

Для случая, когда [latex]f[/latex] строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Теорема о непрерывности обратной функции: 2 комментария

  1. В «доказательстве» — ни слова про непрерывность обратной функции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *