Замена переменной в интеграле Римана



Интеграл в смысле Римана
Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b] , если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка [a;b] , вида \Delta x_{i}=x_{i+1} - x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}, где a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b, и любого выбора точек \ \xi _{i}\ , таких, что \ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\: существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

  1. \varphi(t), f (x) \in C [a,b]; (является непрерывной на [a,b])
  2. \varphi' (t) \in C (\gamma ;\beta);
  3. \forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;
  4. \gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).
    Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: (F(\varphi(t)))'=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t), то есть F(\varphi (t)) является первообразной для f(\varphi (t))\varphi '(t) . Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

  1. $$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
  2. $$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
  3. Если функция f(x) чётная и непрерывная на [-a;a] , то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция f(x) нечётная и непрерывная на [-a;a] , то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx , и в первом слагаемом произвести замену x=-t .(Самостоятельно)

Литература:

  1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
  3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
  4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.


Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *