Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку x_0 предельной точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x_0 существует хотя бы одна точка из E, отличная от x_0.
Предложение. Если x_0предельная точка множества E, то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из E. Доказательство. Обозначим через U произвольную окрестность x_0. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества E, отличных от x_0. Тогда среди них найдется точка x_1, ближайшая к x_0. Но тогда в шаре радиуса \left| x_1-x_0 \right| > 0 с центром в x_0 нет ни одной точки из E, отличной от x_0, а это невозможно, поскольку x_0 – предельная точка множества E.

Пример. Пусть B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \} – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же x_1 находится на сфере, т. е. \left| x_1 \right| = 1, то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть B(x_1,\rho) — произвольная окрестность точки x_1. Тогда все точки вида y = tx_1 (1-\rho < t < 1) принадлежат B_0 и содержатся в B(x_1,\rho). Следовательно, x_1 является предельной для шара B_0 по определению.

Рассмотрим теперь точку x_2, такую, что \left| x_2 \right| > 1. Докажем, что она не будет предельной для B_0. Действительно, предположим, что \rho = \left| x_2 \right| -1 > 0. Тогда в B(x_2,\rho) нет ни одной точки из B_0. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка x_2 не является предельной для множества B_0.

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество E называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество \varnothing замкнутым. Пространство \mathbb{R}^n, очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *