Двойственность открытых и замкнутых множеств

Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Тогда множество всех точек x \in \mathbb{R}^n, не принадлежащих множеству E, называется дополнением множества E и обозначается cE или E^c.

Теорема. Для того чтобы множество E \subset \mathbb{R}^n было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение G \equiv cF было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть E замкнуто и x – произвольная точка из G. Докажем, что она будет внутренней в G. Поскольку x \notin E, то она не будет предельной точкой для E и найдется такая ее окрестность U_x, которая не содержит ни одной точки из E. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в G, так что x – внутренняя точка множества G.
Достаточность. Предположим теперь, что G – открыто. Докажем тогда, что E замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка x, которая не принадлежит E, не будет предельной для E. Если x \notin E, то x \in G, а так как G открыто, следовательно найдется окрестность U_x \subset G. Она не будет содержать точек из E, так что x не является предельной для E, ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть  \left\{ E_{\alpha} \right\} – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств E_{\alpha} равно пересечению дополнений множеств E_{\alpha}, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha}).

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *