Примеры замкнутых множеств

  1. [latex]\varnothing[/latex] замкнуто (и, в то же время, открыто).
  2. Отрезок [latex]\left [a,b \right ] \subset \mathbb{R}[/latex] на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
  3. Множество [latex]\mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ][/latex] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел [latex]\mathbb{Q}[/latex], но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел [latex]\mathbb{R}[/latex].
  4. Произвольный замкнутый шар [latex]B(x_0,r) = \left\{x : |x — x_0| \leq r \right\}[/latex] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку [latex]x[/latex], не принадлежащую [latex]B(x_0,r)[/latex], она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность [latex]B(x,\rho)[/latex], в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять [latex]\rho \leq |x-x_0|-r[/latex]).
  5. Произвольный сегмент [latex]I \equiv \left [a_1,b_1;…;a_n,b_n \right ][/latex] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки [latex]x[/latex], не принадлежащей [latex]I[/latex], не будет содержать точек из [latex]I[/latex]. Действительно, так как [latex]x \notin I[/latex], то найдется такое [latex]j[/latex], что [latex]x_j \notin \left [a_j,b_j \right ][/latex]. Пусть, к примеру, [latex]x_j < a_j[/latex]. Легко видеть, что шар [latex]B(x,\rho)[/latex], где [latex]0 < \rho \leq a_j — x_j[/latex], не имеет общих точек с [latex]I[/latex]. Следовательно, [latex]I[/latex] – замкнутое множество.
  6. Рассмотрим множество [latex]E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}[/latex]. Отрезок [latex] \left [-1,1 \right ][/latex] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества [latex]E[/latex], но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит [latex]E[/latex]. Поэтому множество [latex]E[/latex] не является замкнутым.

Литература:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *