Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$    или  $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

 

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ;       $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;
  • $latex \sinh 2x=2\sinh \cosh $ ;
  • $latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2} $

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$, $latex \cos x$ и $latex \sinh x$, $latex \cosh x$»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *