Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Семейство открытых множеств \left\{G_{\alpha}\right\} называется открытым покрытием множества E, если каждая точка x \in E принадлежит хотя бы одному из множеств G_{\alpha}, т. е. если E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}.

Определение. Множество E \subset \mathbb{R}^n называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество E. Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть E \subset \mathbb{R}^n. Диаметром множества E называется число diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x - y \right |, т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из E. Например, если E = \left [a^1,b^1;...;a^n,b^n \right ]n-мерный сегмент, то, очевидно, diam \> E = |b-a|, где a = (a^1,...,a^n), b = (b^1,...,b^n).

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть  \left\{I_{\nu}\right\} – последовательность вложенных сегментов из  \mathbb{R}^n , т. е. I_1 \supset I_2 \supset...\supset I_{\nu} \supset..., диаметры которых стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. Тогда существует, и притом единственная, точка x_0, принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};...;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...). При каждом фиксированном i = 1,...,n последовательность одномерных отрезков  \left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...) состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. [a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset ... \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset ..., и длины этих отрезков стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число x^i_0, такое, что x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,...), т. е. a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,...). Но тогда точка x_0 = (x^1_0,...,x^n_0), очевидно, принадлежит всем I_{\nu}. Двух различных точек, принадлежащих всем I_{\nu} одновременно, быть не может. Действительно, если {x}',{x}'' \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...), то |{x}'-{x}''| \leq diam \> I_{\nu}. По условию правая часть стремится к нулю при \nu \mapsto \infty, так что {x}'={x}''.

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Компактные множества: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *