Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x. Универсальная подстановка.

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x=2\arctan t    или  \tan \frac{x}{2}=t .

Интегралы вида \int R(\sin x, \cos x)dx   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   t=\tan \frac{x}{2}    в указанные интегралы получаем:

\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}} ;       \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} , где    dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} ;       \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1 ;
  • \sinh 2x=2\sinh \cosh ;
  • \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

t=e^{x} ;           x=\ln t ;           dx=\frac{dt} {t} .

Рассмотрим несколько примеров:

(Прочитав вышеизложенный материал, попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

 

1) Найти интеграл \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}

Подсказка: используйте подстановку        \tan \frac{x}{2}=t

... показать

 

 

2) Найти интеграл \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x} .

Подсказка : используйте замену   \cos x=t   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

... показать

 

 

3) Найти интеграл \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx

Подсказка: используйте подстановку    t=2+3\sinh x  

... показать

 

 

4) Найти интеграл \int \sinh ^{3}xdx
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

... показать

Литература:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова (издание 6-е часть 1) стр. 234-242
  • Конспекты по мат.анализу (преп. Лысенко З.М.)
  • Ещё больше примеров можно найти  здесь

Дополнительные материалы :

  • Лекции по матанализу т1. стр. 171-173
  • Г.М.Фихтенгольц т.2  1964 год стр. 73-78

 

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x. Универсальная подстановка.: 1 комментарий

  1. Игорь, как ты подключил латекс к тестам? Аналогично пытаюсь сделать-не выходит.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *