Интегрируемость по Риману монотонных функций

Теорема. Если функция f монотонна на отрезке \left[ {a,b} \right], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть, например, f возрастает. Возьмём произвольное разбиение \Pi . Тогда {\omega _i} = f\left( {{x_{i + 1}}} \right) - f\left( {{x_i}} \right),
поскольку колебание функции является разностью между наибольшим и наименьшим значениями функции. Получим

\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \le d\left( \Pi \right)} \sum {\left( {f\left( {{x_{i + 1}}} \right) - f\left( {{x_i}} \right)} \right) = d\left( \Pi \right)\left[ {f\left( b \right) - f\left( a \right)} \right]}

.
Отсюда видно, что выполнены условия критерия интегрируемости в терминах колебаний и теорема доказана.\blacksquare

Замечание. Из вышеизложенной теоремы видно, что существуют разрывные интегрируемые функции. В частности, монотонная функция может иметь
разрывы в счётном множестве точек. Поэтому интегрируемая функция может иметь счётное множество точек разрыва.

Пример. Положим f\left( 0 \right) = 0,\;f\left( x \right) = \frac{1}{n}\left( {x \in \left( {\frac{1}{{n + 1}},\frac{1}{n}} \right],\;n = 1,2,...} \right). Ясно, что каждая точка вида \frac{1}{n} является точкой разрыва функции, так что множество точек разрыва функции f счётно.
С другой стороны, поскольку f возрастает на \left[ {0,1} \right], то, по вышеизложенной теореме, она интегрируема на \left[ {0,1} \right].

Интегрируемость на отрезке

В данном тесте будут проверены ваши знания свойств интегрируемости функций на отрезке. Удачи!


Таблица лучших: Интегрируемость на отрезке

максимум из 40 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *