Интегрируемость по Риману монотонных функций

Теорема. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть, например, возрастает. Возьмём произвольное разбиение . Тогда ,
поскольку колебание функции является разностью между наибольшим и наименьшим значениями функции. Получим

[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \le d\left( \Pi \right)} \sum {\left( {f\left( {{x_{i + 1}}} \right) — f\left( {{x_i}} \right)} \right) = d\left( \Pi \right)\left[ {f\left( b \right) — f\left( a \right)} \right]} [/latex]

.
Отсюда видно, что выполнены условия критерия интегрируемости в терминах колебаний и теорема доказана.

Замечание. Из вышеизложенной теоремы видно, что существуют разрывные интегрируемые функции. В частности, монотонная функция может иметь
разрывы в счётном множестве точек. Поэтому интегрируемая функция может иметь счётное множество точек разрыва.

Пример. Положим . Ясно, что каждая точка вида является точкой разрыва функции, так что множество точек разрыва функции счётно.
С другой стороны, поскольку возрастает на , то, по вышеизложенной теореме, она интегрируема на .

Интегрируемость на отрезке

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

В данном тесте будут проверены ваши знания свойств интегрируемости функций на отрезке. Удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Поздравляю с успешным завершением теста!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   $\varphi$$[\alpha ,\beta ]$$\left| {\varphi \left( {{x^\prime }} \right) — \varphi \left( {{x^{\prime \prime }}} \right)} \right|$${x^\prime },{x^{\prime \prime }} \in [\alpha ,\beta ]$${\lim _{d\left( {\Pi \to 0} \right)}}\left( {\overline {{S_\Pi }} + \underline {{S_\Pi }} } \right) = 0$$f$$\left[ {0,1} \right]$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
   0,если~x = \frac{1}{n},где~n \in N\\
   x,в~противном~случае
   \end{array} \right.$$f\left( x \right) = ln\left| {x — 1} \right|$Какая из этих функций не интегрируема на отрезке $\left[ {0,1} \right]$?

   • $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{q},}&{{\rm{если~}}x = \frac{p}{q},p \in Z,q \in N,{\rm{ }}НОД(p,q) = 1}\\ {0,}&{{\rm{если~}}x \in [0.5;1]} \end{array}} \right.$
   • $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {sin~x,}&{x \in [0;0.5)}\\ {cos~x,}&{x \in [0.5;1]} \end{array}} \right.$
   • $f(x) = sign(x)(cos~x-0.5)+0.5$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Заполните пропуски в определении:

   • Колебанием функции  на отрезке   называется (супремум, sup) модуля разности  , где .
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Равенство  означает, что функция :

   • интегрируема на отрезке
   • дифференцируема на отрезке
   • оба ответа неверны
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Какая из этих функций является интегрируемой на ?

   • ни одна из вышеуказанных
   Правильно
   

   Неправильно