Оценка погрешности приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

Рассмотрим погрешность приближённого вычисления определённых интегралов по формуле Тейлора.

Обозначим погрешность через [latex]R_{n}[/latex]

[latex]R_{n}[/latex] представляет собой разность истинного значения определённого интеграла и полученного в результате приблизительного вычисления.

Разумеется, что истинное значение также считается приближённо. Иначе, можно было б использовать точные методы вычисления определённых интегралов.

Проанализируем погрешность вычисление примера 1 :

[latex]\int_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+…=0.3-0.018+0.000972-…\approx[/latex]

[latex] \approx0.3-0.018=0.282[/latex]

Видем, что каждый следующий член суммы на порядки меньше предыдущего.

Если вычислить интеграл, взяв только первый член ряда, получим погрешность [latex]R_{n}\approx0.018972[/latex]

Два первых:

[latex]R_{n}\approx0.000972[/latex]

Имеем, что высокая точность достигается довольно быстро.

Аналогичные рассуждения можно провести с  примером 2.

Литература :

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *