M1231. О разбиении плоскости графиками многочленов второй степени

Условие

На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость [latex]Oxy[/latex] графики [latex]n[/latex] квадратных трехчленов вида [latex]y=ax^{2}+bx+c (n=1, 2, 3, …)[/latex]?

Ответ: [latex]n^{2}+1[/latex].

Решение

Докажем по индукции, что число частей не превосходит [latex]n^{2}+1[/latex]. Для [latex]n=1[/latex] это ясно: парабола делит плоскость на две части.
Пусть доказано, что [latex]n-1[/latex] графиков делят плоскость не более, чем на [latex](n-1)^{2}+1[/latex] частей. Проведем последний, [latex]n[/latex]-й график. Он пересекается с каждым из [latex]n-1[/latex] предыдущих максимум в двух точках, т.е. он будет разбит не более чем на [latex]2(n-1)+1=2n+1[/latex] кусков (включая два крайних, уходящих в бесконечность). Каждый из этих кусков параболы делит одну из имеющихся частей плоскости на две. Таким образом, при проведении последней параболы число частей увеличится не более чем на [latex]2n+1[/latex], т.е. не превзойдет [latex](n-1)^{2}+1+2n+1=n^{2}+1[/latex].
К задаче M1231
Легко строится пример, когда все графики попарно пересекаются в двух точках (см. рисунок) — при этом получится максимальное число частей, указанное в ответе.
Точно такие же образом можно подсчитать максимальное число частей, на которые делят плоскость [latex]n[/latex] прямых, [latex]n[/latex] окружностей и т.п.

Н.Васильев

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *