M1452. Общая касательная к касающимся внешним образом окружностям

Условие

Окружности S_1 и S_2 касаются внешним образом в точке F. Прямая l касается S_1 и S_2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l, касается S_2 в точке C и пересекает S_1 в точках D и E. Докажите, что а) точки A, F и C лежат на одной прямой; б) общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

К задаче M1452

Решение а) Первое решение

Так как касательные к окружности S_2 в точках B и C параллельны, то BC — ее диаметр, и ∠BFC=90°. Докажем, что и ∠AFB=90°. Проведем через точку F общую касательную к окружностям, пусть она пересекает прямую l в точке K. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,
∠AFB=∠AFK+∠KFB=∠FAB+∠FBA=180°/2=90°

Решение а) Второе решение

Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным -r_2/r_1, где r_1 и r_2 — радиусы окружностей S_1 и S_2. При этой гомотении S_1 переходит в S_2, а прямая l — касательная к S_1 — переходит в S_2. Следовательно, точка A переходит в точку C, поэтому точка F лежит на отрезке AC.

Решение б)

Ниже мы покажем, что центр окружности BDE находится в точке A. Поскольку центр окружности ABC есть середина AC (∠ABC=90°), а ∠BFC=90° (см. первое решение п. а)), отсюда будет следовать, что BF есть перпендикуляр, опущенный из общей точки окружностей BDE и ABC на прямую, соединяющею их центры. А это и значит, что прямая BF содержит их общую хорду.

Итак, нам достаточно доказать, что AD=AE=AB. Первое из этих равенств очевидно(ибо касательная к S_1 в точке A параллельна DE). Пусть r_1 и r_2 — радиусы S_1 и S_2. Опуская перпендикуляр AP на DE, найдем, что AP=BC=2r_2, и по теореме Пифагора для треугольников APD и O_1PD, где O_1 — центр S_1 PD^2=O_1D^2-O_1P^2=r_1^2-(2r_2-r_1)^2=4r_1r_2-4r_2^2 AD^2=AP^2+PD^2=4r_1r_2

Но легко найти, что общая касательная AB окружностей S_1 и S_2 равна 2\sqrt{r_1r_2}.

А. Калинин, В. Дубровский

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *