M1479

Условие

Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырех натуральных чисел так, что все 12 чисел различны:

[latex]26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12.[/latex]

Для каждого натурального [latex]n[/latex] обозначим через [latex]K=K(n)[/latex] наибольшее число четверок натуральных чисел, дающих в сумме [latex]n[/latex] и состоящих из [latex]4K[/latex] различных чисел. Докажите, что

[latex]K(n)=\left [\frac{n-2}{8} \right ][/latex]

[latex][x][/latex]- целая чатсь числа [latex]x[/latex].

Решение

Пусть выбрано [latex]k[/latex] четверок различных натуральных чисел, в сумме дающих [latex]n[/latex]. Обозначим через [latex]s[/latex] сумму всех [latex]4k[/latex] чисел, входящих в эти четверки. Тогда, одной стороны, [latex]s=nk[/latex], а с другой стороны,

[latex]s\geqslant 1+2+\cdots +4k=2k(4k+1).[/latex]

Поэтому [latex]nk\geqslant 2k(4k+1)[/latex], откуда [latex]k\leqslant \frac{n-2}{8}[/latex].

Осталось привести набор [latex]\left [\frac{n-2}{8} \right ][/latex] четверок чисел, удовлетворяющий условиям задачи.

Обозначим число [latex]\left [\frac{n-2}{8} \right ][/latex] через [latex]a[/latex] и пусть [latex]n=8a+2+t[/latex], где [latex]t=0,1,2,\cdots,7[/latex].

Рассмотрим следующую таблицу чисел:

[latex]\begin{matrix}&1 &2 &3 &\cdots &a-1 &a \\ &2a &2a-1 &2a-2 &\cdots &a+2 &a+1 \\ &2a+1 &2a+2 &2a+3 &\cdots &3a-1 &3a \\ &4a+t &4a+t-1 &4a+t-2 &\cdots &3a+t+2 &3a+t+1 \end{matrix}[/latex]

Числа, стоящие в первом столбце, образуют первую четверку чисел, стоящие во втором — вторую четверку чисел, и так далее.

Л.Курляндчик

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *