M1479

Условие

Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырех натуральных чисел так, что все 12 чисел различны:

26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12.

Для каждого натурального n обозначим через K=K(n) наибольшее число четверок натуральных чисел, дающих в сумме n и состоящих из 4K различных чисел. Докажите, что

K(n)=\left [\frac{n-2}{8}  \right ]

[x]— целая чатсь числа x.

Решение

Пусть выбрано k четверок различных натуральных чисел, в сумме дающих n. Обозначим через s сумму всех 4k чисел, входящих в эти четверки. Тогда, одной стороны, s=nk, а с другой стороны,

s\geqslant 1+2+\cdots +4k=2k(4k+1).

Поэтому nk\geqslant 2k(4k+1), откуда k\leqslant \frac{n-2}{8}.

Осталось привести набор \left [\frac{n-2}{8}  \right ] четверок чисел, удовлетворяющий условиям задачи.

Обозначим число \left [\frac{n-2}{8}  \right ] через a и пусть n=8a+2+t, где t=0,1,2,\cdots,7.

Рассмотрим следующую таблицу чисел:

\begin{matrix}&1  &2  &3 &\cdots  &a-1  &a \\ &2a  &2a-1  &2a-2  &\cdots  &a+2  &a+1 \\ &2a+1  &2a+2  &2a+3  &\cdots  &3a-1  &3a \\ &4a+t  &4a+t-1  &4a+t-2  &\cdots  &3a+t+2  &3a+t+1 \end{matrix}

Числа, стоящие в первом столбце, образуют первую четверку чисел, стоящие во втором — вторую четверку чисел, и так далее.

Л.Курляндчик

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *