Условие
Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырех натуральных чисел так, что все 12 чисел различны:
Для каждого натурального [latex]n[/latex] обозначим через [latex]K=K(n)[/latex] наибольшее число четверок натуральных чисел, дающих в сумме [latex]n[/latex] и состоящих из [latex]4K[/latex] различных чисел. Докажите, что
[latex][x][/latex]- целая чатсь числа [latex]x[/latex].
Решение
Пусть выбрано [latex]k[/latex] четверок различных натуральных чисел, в сумме дающих [latex]n[/latex]. Обозначим через [latex]s[/latex] сумму всех [latex]4k[/latex] чисел, входящих в эти четверки. Тогда, одной стороны, [latex]s=nk[/latex], а с другой стороны,
Поэтому [latex]nk\geqslant 2k(4k+1)[/latex], откуда [latex]k\leqslant \frac{n-2}{8}[/latex].
Осталось привести набор [latex]\left [\frac{n-2}{8} \right ][/latex] четверок чисел, удовлетворяющий условиям задачи.
Обозначим число [latex]\left [\frac{n-2}{8} \right ][/latex] через [latex]a[/latex] и пусть [latex]n=8a+2+t[/latex], где [latex]t=0,1,2,\cdots,7[/latex].
Рассмотрим следующую таблицу чисел:
Числа, стоящие в первом столбце, образуют первую четверку чисел, стоящие во втором — вторую четверку чисел, и так далее.