M1515. О целых корнях суперпозиции трех квадратных трехчленов

Задача из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)

Условие

Известно, что f(x),g(x),h(x) — квадратные трехчлены. Может ли уравнение f(g(h(x)))=0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Решение

Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 — корни уравнения f(g(h(x)))=0.

Если прямая x=a — ось параболы, задаваемой уравнением y=h(x), то h(x_{1})=h(x_{2}) тогда и только тогда, когда x_{1}+x_{2}=2a.

Многочлен f(g(x)) имеет не более четырех корней, но числа h(1), h(2),..., h(8) являются его корнями, следовательно, a=4.5 и h(4)=h(5),h(3)=h(6),h(2)=h(7),h(1)=h(8). Кроме того, мы попутно доказали, что числа h(1),h(2),h(3),h(4) образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трехчлен f(x) и его корни g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)), g(h(4)), получаем, что h(1)+h(4)=2b, h(2)+h(3)=2b, где прямая x=b — ось параболы, задаваемой уравнением y=g(x). Но из уравнения h(1)+h(4)=h(2)+h(3) для h(x)=Ax^{2}+Bx+C следует, что A=0. Противоречие.

Ответ: уравнение f(g(h(x)))=0 не может иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

С.Токарев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *