M1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке

Задачи из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)

Условие

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка — основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2:1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

Доказательство

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC, P— точка пересечения высот тетраэдра, AA_{1} — высота тетраэдра из вершины A.

MA_{2}||A_{3}A_{1} и AA_{2}:A_{2}A_{1}=2:1.

Угол MA_{2}P — прямой, так что точка A_{2} лежит на сфере с диаметром MP. Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Д.Терешин

M1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *