M1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке

Задачи из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)

Условие

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка — основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2:1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

Доказательство

Пусть [latex]M[/latex] — точка пересечения медиан треугольника [latex]ABC, P[/latex]- точка пересечения высот тетраэдра, [latex]AA_{1}[/latex] — высота тетраэдра из вершины [latex]A[/latex].

[latex]MA_{2}||A_{3}A_{1}[/latex] и [latex]AA_{2}:A_{2}A_{1}=2:1[/latex].

Угол [latex]MA_{2}P[/latex] — прямой, так что точка [latex]A_{2}[/latex] лежит на сфере с диаметром [latex]MP[/latex]. Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Д.Терешин

M1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *