M1537. Произведение и разность чисел

Условие:

Про n чисел, произведение которых равно p, известно, что разность между p и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти числа иррациональны.

Решение:

Пусть x — одно из этих n чисел. x+b_{1} , x+b_{2}, ... , x+b_{n-1} — остальные и

 p = x(x+b_{1})(x+b_{2})...(x+b_{n+1})=x+c, (1)

где, по условию, c нечётно, а b_{1} , b_{2}, ... , b_{n-1} должны быть чётными целыми числами. Равенство (1) можно записать, раскрыв скобки в виде

 x^{n} +a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} +...+a_{n-2}x^{2}+x{n-1}x=c, (2)

где a_{1},...,a_{n-2} — чётные, а a_{n-1}=b_{1}b_{2}...b_{n-1}-1 и c — нечётные числа.Предположив, что x — рациональное число, мы сразу же убедимся, что x должно быть целым:если x=k/d — несократимая дробь, d>1, то, подставив x в (2) и умножив обе части на d^{n-1} , мы придём к противоречию.Но и целым x тоже быть не может: и при чётном, и при нечётном x левая часть — четная (в последнем случае два крайние числа нечётны, а остальные чётны), а c — нечётно. Полученное противоречие доказывает, что x (и любой из остальных корней уравнения (1) с чётными b, и нечётным c) может быть только иррациональным.

Н.Васильев, Г.Гальперин

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *