M1538

Условие:

Прямоугольник atimes b(a>b) разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого.Докажите, что frac{a}{b}geq2.

Решение:

Пусть наш прямоугольник — ABCD. Докажем, что вершина треугольника разбиения не может лежать внутри прямоугольника. Действительно, допустим противное, пусть хотя бы одна вершина внутри прямоугольника существует. Значит, существуют и стороны треугольников разбиения, которые обладают таким свойством: хотя бы один конец этой стороны лежит внутри прямоугольника. Рассмотрим множество M сторон, обладающих этим свойством. По условию задачи, эта сторона для одного из примыкающих к ней треугольников разбиения служит гипотенузой. Тогда катет этого треугольника, выходящий из этой же точки, а следовательно, тоже принадлежащий множеству M, будет короче гипотенузы, т.е. короче кратчайшего отрезка множества M. Противоречие. Итак, все вершины треугольников разбиения лежат на границе прямоугольника.

M1538

Теперь рассмотрим самую длинную из сторон треугольников разбиения: пусть это сторона m. Она принадлежит одной из сторон прямоугольника. Действительно, иначе m служила бы катетом для некоторого треугольника, а его гипотенуза был бы ещё длиннее. Пусть m лежит на стороне AB прямоугольника (см. рисунок).

Рассмотрим треугольник разбиения, гипотенузой которого служит m. Вершина его прямого угла может лежать только на стороне CD. Высота этого треугольника равна стороне BC. Но высота h прямоугольного треугольника не превышает половины гипотенузы, следовательно, mgeq 2h, откуда ABgeq 2BC, что и требуется.

А.Шаповалов, Н.Константинов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *