Фундаментальные последовательности и их свойства

Определение

Последовательность  \left \{ x_{n} \right \}  называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого \varepsilon > 0 существует такое натуральное число  n_{0} , что для любого n \geq n_{0} и любого m \geq n_{0} справедливо неравенство \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon. Кратко это условие можно записать так: \forall \varepsilon > 0  \exists n_{0}\in \mathbb{N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon.

Дадим эквивалентное определение. Последовательность \left \{ x_{n} \right \} называют фундаментальной, если для каждого \varepsilon > 0 существует такое натуральное число n_{0}, что для любого n\geq n_{0} и для любого натурального p справедливо неравенство \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon. Кратко это условие можно записать так: \forall \varepsilon > 0  \exists n_{0} : \forall n\geq n_{0} \forall p\in \mathbb{N} : \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon.

Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной. Пусть \varepsilon = 1, тогда согласно условию Коши найдется номер n_{0} такой, что для всех  n \geq n_{0} и для всех m \geq n_{0} выполняется неравенство \left | x_{n} - x_{m} \right | < 1, и, в частности, \left | x_{n} - x_{n_{0}} \right | < 1. Так как \left | x_n \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{0}}) + x_{n_{0}} \right |   \leq \left | x_{n_{0}} \right | + \left | x_{n} - x_{n_{0}} \right | < \left | x_{n_{0}} \right | +1 для  всех  n \geq n_{0} , то при всех  n \in \mathbb{N} справедливо неравенство  \left | x_{n} \right | \le C, где  C=\max(\left | x_{1} \right | ,\ldots, \left | x_{n_{0}-1} \right | , \left | x_{n_{0}} \right | +1) . Это означает, что  \left \{ x_{n} \right \} — ограниченная последовательность.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Теорема (критерий Коши)

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость

Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным a. По определению предела  \forall \varepsilon > 0   \exists n_{0} такое, что  \forall k \geq n_{0} и выполняется неравенство  \left | x_{k} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} . Пусть  k=n, тогда  \left | x_{n} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} . Пусть k=m, тогда  \left | x_{m} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} . В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем  \left | x_{n}-x_{m} \right |=\left | (x_{n}-a) - (x_{m}-a) \right | \leq \left | x_{n}-a \right | + \left | x_{m} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon . Следовательно, для любого  n \geq n_{0} и для любого  m \geq n_{0} выполняется неравенство  \left | x_{n}-x_{m} \right | < \varepsilon, т. е. выполняется условие Коши.

Достаточность

Пусть   \left \{ x_{n} \right \} — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности  \forall \varepsilon > 0   \exists n_{\varepsilon} :  \forall n \geq n_{\varepsilon}     \forall m \geq n_{\varepsilon} выполняется неравенство  \left | x_{n} - x_{m} \right | < \frac{\varepsilon}{2}. Так как фундаментальная последовательность  \left \{ x_{n} \right \} является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность  \left \{ x_{n_{k}} \right \} . Пусть ее предел равен a , т. е.  \lim\limits_{ k \to \infty} x_{n_{k}} = a. Покажем, что число a является пределом исходной последовательности  \left \{ x_{n} \right \} . По определению предела :  \forall \varepsilon > 0   \exists k_{\varepsilon} :  \forall k \geq k_{\varepsilon} \rightarrow  \left | x_{n_{k}} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2}. Пусть  N_{\varepsilon} = \max( n_{\varepsilon}, k_{\varepsilon} ). Фиксируем  номер  n_{k} \geq N_{\varepsilon} (такой номер найдется, так как  n_{k} \to \infty при  k \to \infty ). Тогда при  m=n_{k} и при всех  n \geq N_{\varepsilon}  выполняется неравенство  \left | x_{n} - x_{n_{k}} \right | < \frac{\varepsilon}{2}. Из этого следует, что при всех   n \geq N_{\varepsilon} справедливо неравенство:  \left | x_{n}-a \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}}-a) \right | \leq \left | x_{n}-x_{n_{k}}\right | + \left | x_{n_{k}} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon т. е.  \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a.

Пример

Доказать, что последовательность x_{n}=1+ \frac{1}{2} +...+\frac{1}{n} расходится.

Решение показать

Литература

фундаментальные последовательности

Тест на тему «фундаментальные последовательности»:

Фундаментальные последовательности и их свойства: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *