Арифметические свойства непрерывных функций

Теорема 1

Пусть даны функции $f,g$ :$E \mapsto R^{m} $, $E \subset \mathbb{R}^n $. Если $ f, g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке непрерывны и функций $ f+g$ , $ f\cdot g$. Если $f,g$ — действительные функций и $ g(x)\neq 0$ на $E$, то $\Large \frac{f}{g}$ непрерывна в точке $ x_{0}.$

Доказательство:
Действительно, если $ x_{0}$ — изолированная точка в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $ x_{0}$ — предельная точка множества  $ E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применять соответствующую теорему о арифметических свойствах пределов функций.

Теорема 2 (формулировка)

Пусть $ f $ : $E \rightarrow \mathbb{R}^m$ и $ g $: $N \rightarrow {R}^k$,  $N \subset \mathbb{R}^m $, причем $f(E) \subset N$. Если  $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ $\in E$ , в функция $g$ непрерывна в точке $y_{0}= f(x_{0})$ $\in N$, то композиция $h= (g \circ f)$ непрерывна в точке $x_{0} $.

Пример

Пусть $f(x)=$ $\left | x \right |$.
Тогда из неравенства:
$\left | f(x)-f(x_0) \right |=\left | \left | x \right |- \left | x_{0} \right |\right | \leq \left | x-x_{0} \right |$ сразу следует непрерывность функций $f$.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Арифметические свойства непрерывных функций: 1 комментарий

  1. По тестам.
    1. «она непрерывна» — лишний раз повторяется в вариантах ответа
    2. не отображается знак принадлежности в ответах
    3. в вопросе «называется непрерывной» абсолютно бннальные варианты ответа
    4. определитесь с большой буквой в вариантах ответа. Или она есть, или нет. Но не то так, то так.
    5. нет laTeX
    6. рисунки в вопросах это хорошо придумано. Но только SVG. И не забывайте, что пишите не про функции одной переменной, а «продвинутый» вариант n-мерного пространства.
    7. с линейными комбинациями Вы какую-то чепуху написали.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *