Бесконечные пределы

Определение

Пусть задана функция нескольких переменных A\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} и a —предельная точка множества A. Если для любого числа M>0 существует такое число \delta , что при x\in A\cap U(a,\delta ) выполняется неравенство f(x)> M ( \left | f(x) \right | > M), то говорят, что функция f(x) стремится к + \infty при, x\underset{A}{\rightarrow}a и пишут:
\lim\limits_{x\to a}=+\infty (\lim\limits_{x\to a}=-\infty или \lim\limits_{x\to a} =\infty )
Во всех трех случаях функцию f(x) называют бесконечно большой при x\underset{A}{\rightarrow}a.

Пример

Функция f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2} является бесконечно большой при (x, y) \rightarrow (0, 0) Функция g(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2} стремится к \infty при (x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0), если A — сектор, заключенный между прямыми y = x и y = {-x} и расположенный в правой полуплоскости x > 0. В самом деле, в этом секторе \left | y \right | < \left | x \right | и поэтому:
\frac{x}{x^2+y^2}> \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}
Функция g(x, y) стремится к - \infty при (x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0), если A — сектор, заключенный между прямыми y = x и y = {-x} и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом секторе \left | y \right | < \left | x \right | и поэтому:
\frac{x}{x^2+y^2}< \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}
Если A = {(x, y):x = 0, y \in R}— ось ординат, то g(x, y) = 0 на A и функция g(x, y) является бесконечно малой при (x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0).

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *