Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением:  (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2. Справедливое для любых вещественных чисел  a_{1} , b_{1} ... a_{n} , b_{n}

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен: p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2} , где  A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 ,   B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} ,   C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 . Так как квадратный трехчлен  P(\xi) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,   B^2-AC\leq 0 . Подставляя в неравенство значения коэффициентов  A ,  B и  C , получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}.

Используя неравенство Коши, получаем:  \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq  \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2=  (\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского  a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i} , получаем неравенство  \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2} т. е. неравенство треугольника для расстояния p(x,y) .

Литература:

Неравенство Коши — Буняковского: 1 комментарий

  1. Даже не знаю… Снова переписывать одни и те же замечания?
    1. Рудин — нет страниц
    2. Литература — нет выходных данных книг
    3. Нет ссылок на термины внутри сайта. Если Вы говорите о неравенствах Минковского, Коши и др., то дайте ссылки.
    4. Неуместно используете скобки и 1/2 вместо знака радикала
    5. Пробелы перед точкой или запятой приводят к образованию строк, начинающихся с точки или запятой.
    6. Принудительный разрыв строки в середине предложения.
    7. Нет примеров.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *